INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ACAPULCO

INGENIERÍA DE CONTROL CLÁSICO

UNIDAD 1

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

JOSE EDUARDO GARCÍA FLORES "JEFE DE EQUIPO" "10320564"

ÁNGEL SALVADOR GALEANA ARCOS

*GUSTAVO NAVA CASTRO

Unidad 2

Modelado de sistemas dinámicos
Ejemplos en sistemas eléctricos y mecánicos con el modelado matemático 4 ejemplos

2.1 Función de transferencia

2.1.1 Sistemas mecánicos

2.1.1.1 De traslación

2.1.1.2 De rotación

2.1.2 Sistemas eléctricos

2.1.3 Representación en diagramas de bloque a lazo cerrado

2.2 Sistemas análogos

2.2.1 Analogía fuerza-tensión

2.2.2 Analogía Fuerza corriente.

2.3 Algebra de bloques

2.3.1 Reducción de diagramas de bloques

2.3 Sistemas eléctricos y mecánicos

2.3.1 Motores de CC controlados por el inducido

2.3.2 Motores de CC controlados por el campo

2.4 Espacio de estados. Relación entre función de transferencia y espacio de estados

2.1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.

La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.

El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la de convolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado.

Descripción matemática

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:

donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X (s)es la transformada de Laplace de la señal de entrada.

La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de

$Y(s) = {H(s)} {X(s)} \,\!$

y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):

2.1.1 Sistemas mecánicos

MÁQUINAS. INTRODUCCIÓN

El ser humano siempre intenta realizar trabajos que sobrepasan su capacidad física o intelectual.

Algunos ejemplos de esta actitud de superación pueden ser: mover rocas enormes, elevar coches para repararlos, transportar objetos o personas a grandes distancias, extraer sidra de la manzana, cortar árboles, resolver gran número de problemas en poco tiempo...

Para solucionar estos grandes retos se inventaron las máquinas: una grúa o una excavadora son máquinas; pero también lo son una bicicleta, o los cohetes espaciales; sin olvidar tampoco al simple cuchillo, las imprescindibles pinzas de depilar, el adorado ordenador o las obligatorias escaleras.

Todos ellos son máquinas y en común tienen, al menos, una cosa: son inventos humanos cuyo fin es reducir el esfuerzo necesario para realizar un trabajo.

Prácticamente cualquier objeto puede llegar a convertirse en una máquina sin más que darle la utilidad adecuada. Por ejemplo, una cuesta natural no es, en principio, una máquina, pero se convierte en ella cuando el ser humano la usa para elevar objetos con un menor esfuerzo (es más fácil subir objetos por una cuesta que elevarlos a pulso); lo mismo sucede con un simple palo que nos encontramos tirado en el suelo, si lo usamos para mover algún objeto a modo de palanca ya lo hemos convertido en una máquina.

CLASIFICACIÓN DE LAS MÁQUINAS

Las máquinas inventadas por el hombre se pueden clasificar atendiendo a tres puntos de vista:

Según su complejidad, que se verá afectada por el número de operadores (piezas) que la componen.

Según el número de pasos o encadenamientos que necesitan para realizar su trabajo.

Según el número de tecnologías que la integran.

SEGÚN SU COMPLEJIDAD

SEGÚN EL NÚMERO DE PIEZAS

Analizando nuestro entorno podemos encontrarnos con máquinas sencillas (como las pinzas de depilar, el balancín de un parque, un cuchillo, un cortaúñas o un motor de gomas), complejas (como el motor de un automóvil o una excavadora) o muy complejas (como un cohete espacial o un motor de reacción), todo ello dependiendo del número de piezas empleadas en su construcción.

SEGÚN EL NÚMERO DE PASOS O ENCADENAMIENTOS

También nos podemos fijar en que el funcionamiento de algunas de ellas nos resulta muy fácil de explicar, mientras que el de otras solo está al alcance de expertos. La diferencia está en que algunas máquinas solamente emplean un paso para realizar su trabajo (máquinas simples), mientras que otras necesitan realizar varios trabajos encadenados para poder funcionar correctamente (máquinas compuestas).

La mayoría de nosotros podemos describir el funcionamiento de una escalera (solo sirve para subir o bajar por ella) o de un cortaúñas (realiza su trabajo en dos pasos: una palanca le transmite la fuerza a otra que es la encargada de apretar los extremos en forma de cuña); pero nos resulta muchos más difícil explicar el funcionamiento de un ordenador, un motor de automóvil o un satélite espacial.

2.1.1.1 De traslación

2.1.1.2 De rotación

2.1.2 Sistemas eléctricos

Los sistemas de control, según la teoría cibernética, se aplican en esencia para los organismos vivos, las máquinas y lasorganizaciones. Estos sistemas fueron relacionados por primera vez en 1948 por Norbert Wiener en su obra Cibernética y Sociedadcon aplicación en la teoría de los mecanismos de control. Un sistema de control está definido como un conjunto de componentes que pueden regular su propia conducta o la de otro sistema con el fin de lograr un funcionamiento predeterminado, de modo que se reduzcan las probabilidades de fallos y se obtengan los resultados buscados.

Hoy en día los procesos de control son síntomas del proceso industrial que estamos viviendo. Estos sistemas se usan típicamente en sustituir un trabajador pasivo que controla una determinado sistema ( ya sea eléctrico, mecánico, etc. ) con una posibilidad nula o casi nula de error, y un grado de eficiencia mucho más grande que el de un trabajador. Los sistemas de control más modernos en ingeniería automatizan procesos en base a muchos parámetros y reciben el nombre de controladores de automatización programables (PAC).

Los sistemas de control deben conseguir los siguientes objetivos:

1. Ser estables y robustos frente a perturbaciones y errores en los modelos.

2. Ser eficiente según un criterio preestablecido evitando comportamientos bruscos e irreales.

Necesidades de la supervisión de procesos

Limitaciones de la visualización de los sistemas de adquisición y control.

Control vs Monitorización

Control software. Cierre de lazo de control.

Recoger, almacenar y visualizar información.

Minería de datos.

Definiciones

Supervisión: acto de observar el trabajo y tareas de otro (individuo o máquina) que puede no conocer el tema en profundidad.

1. Sistema de control de lazo abierto: Es aquel sistema en que solo actúa el proceso sobre la señal de entrada y da como resultado una señal de salida independiente a la señal de entrada, pero basada en la primera. Esto significa que no hay retroalimentación hacia el controlador para que éste pueda ajustar la acción de control. Es decir, la señal de salida no se convierte en señal de entrada para el controlador. Ejemplo 1: el llenado de un tanque usando una manguera de jardín. Mientras que la llave siga abierta, el agua fluirá. La altura del agua en el tanque no puede hacer que la llave se cierre y por tanto no nos sirve para un proceso que necesite de un control de contenido o concentración. Ejemplo 2: Al hacer una tostada, lo que hacemos es controlar el tiempo de tostado de ella misma entrando una variable (en este caso el grado de tostado que queremos). En definitiva, el que nosotros introducimos como parámetro es el tiempo.

Estos sistemas se caracterizan por:

Ser sencillos y de fácil concepto.

Nada asegura su estabilidad ante una perturbación.

La salida no se compara con la entrada.

Ser afectado por las perturbaciones. Éstas pueden ser tangibles o intangibles.

La precisión depende de la previa calibración del sistema.

2. Sistema de control de lazo cerrado: Son los sistemas en los que la acción de control está en función de la señal de salida. Los sistemas de circuito cerrado usan la retroalimentación desde un resultado final para ajustar la acción de control en consecuencia. El control en lazo cerrado es imprescindible cuando se da alguna de las siguientes circunstancias:

- Cuando un proceso no es posible de regular por el hombre.

- Una producción a gran escala que exige grandes instalaciones y el hombre no es capaz de manejar.

- Vigilar un proceso es especialmente difícil en algunos casos y requiere una atención que el hombre puede perder fácilmente por cansancio o despiste, con los consiguientes riesgos que ello pueda ocasionar al trabajador y al proceso.

Sus características son:

Ser complejos, pero amplios en cantidad de parámetros.

La salida se compara con la entrada y le afecta para el control del sistema.

Su propiedad de retroalimentación.

Ser más estable a perturbaciones y variaciones internas.

Un ejemplo de un sistema de control de lazo cerrado sería el termotanque de agua que utilizamos para bañarnos. Otro ejemplo sería un regulador de nivel de gran sensibilidad de un depósito. El movimiento de la boya produce más o menos obstrucción en un chorro de aire o gas a baja presión. Esto se traduce en cambios de presión que afectan a la membrana de la válvula de paso, haciendo que se abra más cuanto más cerca se encuentre del nivel máximo

2.1.3 Representación en diagramas de

bloque a lazo cerrado

2.2 Sistemas análogos

Un sistema analógico contiene dispositivos que manipulan cantidades físicas representadas de manera analógica. En estos sistemas las cantidades pueden variar en un rango continuo de valores. Por ejemplo, la amplitud de la señal de salida de una bocina en un receptor de audio puede tener cualquier valor entre cero y su límite máximo. Otro tipo de sistemas analógicos son los amplificadores de audio, equipos de grabación no digital y reproductores de los mismos.

Desventajas de los sistemas analógicos

1. Para su diseño se requiere demasiado análisis matemático.

2. Una vez creado un sistema analógico, si se desea hacer una actualización es necesario casi modificar todo el sistema nuevamente.

3. El consumo de energía es mayor.

4. La capacidad de integración no permite desarrollar sistemas portátiles complejos (como un reproductor de CD, o una computadora análoga).

5. Son susceptibles al ruido por fuentes externas.

6. Limitaciones para almacenar información.

7. Presición limitada a máximo tres dígitos.

Ventajas de los sistemas analógicos

1. El mundo real esta compuesto de variables análogas, por lo tanto, la información a introducir en el sistema para ser procesada será real.

2. Capacidad de manejar grandes potencias.

2.3 Álgebra de bloques

Un bloque representa la función de transferencia que relaciona las señales de entrada y salida. La dirección de un bloque siempre es única e indica el flujo causa efecto y también de flujo de la información.

Los bloques se pueden conectar entre si y se opera entre ellos usando las reglas algebraicas de la suma y de la multiplicación para su simplificación.

Ejemplo

Bloque funcional: es un rectángulo que contiene la funcion de transferencia correspondiente a esa parte del sistema de control.

Punto de suma: es un circulo o un rectángulo que indica la operación suma o resta que se va a realizar.

Punto de bifurcación: en un punto que enlaza la trayectoria tomada inicialmente con otra trayectoria diferente a ella.

Es importante tener en cuenta que para poder simplificar un diagrama de bloques debemos conocer los teoremas que nos plantea el álgebra de bloques y así poder hallar la funcion de transferencia de un sistema de control, estos teoremas son los siguientes:

Bloques en cascada: son tambien conocidos como bloques en serie.

Bloques en paralelo:

Bloques realimentados:

Ganancia unitaria:

Mover un punto de suma de detrás de un bloque:

Mover una bifurcación de detrás de un bloque:

Mover un punto de suma de delante de un bloque:

Mover una bifurcación de delante de un bloque:

Ejercicio

Comprobar que el siguiente diagrama es equivalente a

2.3.1 Reducción de diagramas de bloques

REDUCCIÓN DEL DIAGRAMA DE BLOQUES

Es importante notar que los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es afectada por el bloque inmediato siguiente. Si hay cualquier efecto de carga entre los componentes, es necesario combinar esos componentes en un bloque individual.

Cualquier cantidad de bloques en cascada que representen componentes que no producen efecto de carga se puede representar como un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese bloque simplemente el producto de las funciones de transferencia individuales.

Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo, con muchos lazos de retroalimentación, modificando paso a paso, utilizando las reglas del álgebra de diagrama de bloques. En la tabla 7.1 se dan algunas de estas reglas importantes. Se obtienen escribiendo la ecuación en forma diferente. Hay que notar, sin embargo, que al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven más complejos, debido a que se generan nuevos polos y ceros.

Al simplificar un diagrama de bloques debe darse lo siguiente:

1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo debe quedar igual

2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe quedar igual.

Tabla 7.1 Reglas del álgebra de diagrama de bloques

(Hacer click en la figura para ampliarla)

Ejemplo 7.1

Sea el sistema que aparece en la Figura 7.4(a). Simplifique este diagrama usando las reglas que aparecen en la Tabla 7.1
Solución

Desplazando el punto de suma de lazo negativo de retroalimentación que contiene H₂ fuera del lazo positivo de retroalimentación que contiene aH₁, se obtiene le figura 7.4(b). Eliminando el lazo de retroalimentación positiva, se tiene la figura 7.4(c). Luego, eliminando el lazo que contieneH₂/G₁, se obtiene la figura 7.4(d). Finalmente eliminando el lazo de retroalimentación, se llega a la figura 7.4(e).

Fig. 7.4 (a) Sistemas de lazos múltiples; (b) - (e) reducciones sucesivas del diagrama de bloques mostrado en (a)

2.3 Sistemas eléctricos y mecánicos

2.3.1 Motores de CC controlados por el

inducido

2.3.2 Motores de CC controlados por el

campo

2.4 Espacio de estados. Relación entre

función de transferencia y espacio de

estados

En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida comoaproximación en el dominio del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con $p$ entradas y $q$ salidas, tendríamos que escribir $q \times p$ veces la transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado no está limitada a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de $n$ dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

Sistemas lineales

Una forma general de representación de espacios de estado de un sistema lineal con $p$ entradas, $q$ salidas y $n$ variables de estado se escribe de la siguiente forma:

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)$

donde

$x(t) \in \mathbb{R}^n$ ; $y(t) \in \mathbb{R}^q$ ; $u(t) \in \mathbb{R}^p$ ;

$\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n$ ,

$\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p$ ,

$\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n$ ,

$\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p$ ,

$\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}$ .

$x(\cdot)$ es llamado vector de estados, $y(\cdot)$ es llamado vector de salida, $u(\cdot)$ es llamado vector de entradas (o control), $A(\cdot)$ es la matriz de estados, $B(\cdot)$ es la matriz de entrada, $C(\cdot)$ es la matriz de salida, y $D(\cdot)$ es la matriz de transmisión directa. Por simplicidad, $D(\cdot)$ normalmente se toma como la matriz cero, p. ej.: se elige que el sistema no tenga transmisión. Nótese que en esta formulación general se supone que todas las matrices son variantes en el tiempo, p. ej.: algunos o todos sus elementos pueden depender del tiempo. La variable temporal $t$ puede ser una "continua" (p. ej.: $t \in \mathbb{R}$ ) o una discreta (p. ej.: $t \in \mathbb{Z}$ ): en éste último caso la variable temporal es generalmente indicada como $k$ . Dependiendo de las consideraciones tomadas, la representación del modelo de espacios de estado puede tomar las siguientes formas:

Tipo de sistema	Modelo de espacio de estados
continuo e invariante en el tiempo	$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$ $\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$
continuo y variante en el tiempo	$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)$ $\mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)$
Discreto e invariante en el tiempo	$\mathbf{x}(k+1) = A \mathbf{x}(k) + B \mathbf{u}(k)$ $\mathbf{y}(k) = C \mathbf{x}(k) + D \mathbf{u}(k)$
Discreto y variante en el tiempo	$\mathbf{x}(k+1) = \mathbf{A}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{B}(k) \mathbf{u}(k)$ $\mathbf{y}(k) = \mathbf{C}(k) \mathbf{x}(k) + \mathbf{D}(k) \mathbf{u}(k)$
Transformada de Laplace de continua e invariante en el tiempo	$s \mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$ $\mathbf{Y}(s) = C \mathbf{X}(s) + D \mathbf{U}(s)$
Transformada Z de discreta e invariante en el tiempo	$z \mathbf{X}(z) = A \mathbf{X}(z) + B \mathbf{U}(z)$ $\mathbf{Y}(z) = C \mathbf{X}(z) + D \mathbf{U}(z)$

La estabilidad y la respuesta natural característica de un sistema puede ser estudiado mediante los autovalores (o valores propios) de la matriz $A$ . La estabilidad de un modelo de espacio de estados invariante en el tiempo puede ser fácilmente determinado observando la función transferencia del sistema en forma factorizada. Tendría un forma parecida a la siguiente:

$\textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3}) }{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4}) }$

El denominador de la función transferencia es igual al polinomio característico encontrado tomando el determinante de $sI - A$ ,

$\mathbf{\lambda}(s) = |sI - A|$ .

Las raíces de este polinomio (los autovalores) proporcionan los polos en la función transferencia del sistema. Dichos polos pueden ser utilizados para analizar si el sistema es asintótica o marginalmente estable. Otra alternativa para determinar la estabilidad, en la cual no involucra los cálculos de los autovalores, es analizar la estabilidad de Liapunov del sistema. Los ceros encontrados en el numerador de $\textbf{G}(s)$ puede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase mínima.

El sistema podría ser estable con respecto a sus entradas y salidas aún si es internamente inestable. Este podría ser el caso si polos inestables son cancelados por ceros.

Controlabilidad

La condición de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor final dentro de un intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es controlable si y sólo si

$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}B& AB& A^{2}B& ...& A^{n-1}B\end{bmatrix} = n$

Observabilidad

La observabilidad es la medida de cuán correctamente los estados internos de un sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observadlidad y la controlabilidad son matemáticamente duales.

Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo es observable si y sólo si:

$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}C\\ CA\\ ...\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} = n$

(el rango de una matriz es el numero de filas linealmente independientes.)

Función de transferencia

La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:

Tomando la transformada de Laplace de

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$

tenemos que

$s\mathbf{X}(s) = A \mathbf{X}(s) + B \mathbf{U}(s)$

Luego, agrupamos y despejamos $\mathbf{X}(s)$ , dando

$(s\mathbf{I} - A)\mathbf{X}(s) = B\mathbf{U}(s)$

$\mathbf{X}(s) = (s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)$

esto es sustituido por $\mathbf{X}(s)$ en la ecuación de salida

$\mathbf{Y}(s) = C\mathbf{X}(s) + D\mathbf{U}(s)$ , nos queda

$\mathbf{Y}(s) = C((s\mathbf{I} - A)^{-1}B\mathbf{U}(s)) + D\mathbf{U}(s)$

Como la función de transferencia está definida como la tasa de salida sobre la entrada de un sistema, tomamos

$\mathbf{G}(s) = \mathbf{Y}(s) / \mathbf{U}(s)$

y sustituimos las expresiones previas por $\mathbf{Y}(s)$ con respecto a $\mathbf{U}(s)$ , quedando

$\mathbf{G}(s) = C(s\mathbf{I} - A)^{-1}B + D$

Claramente $\mathbf{G}(s)$ debe tener $q$ por $p$ dimensiones, así como un total de $qp$ elementos. Entonces para cada entrada hay $q$ funciones de transferencias con uno por cada salida. Esta es la razón por la cual la representación de espacios de estados puede fácilmente ser la elección preferida para sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO, por sus siglas en inglés: Multiple-Input, Multiple-Output).

Formas canónicas

Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio de estados con la siguiente aproximación:

Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador y en el denominador. Resultando en la siguiente forma:

$\textbf{G}(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}$ .

Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados mediante la siguiente aproximación:

$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& -d_{2}& -d_{3}& -d_{4}\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

$\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_{1}& n_{2}& n_{3}& n_{4} \end{bmatrix}\textbf{x}(t)$ .

Esta realización del espacio de estado se denomina forma canónica controlable porque garantiza que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una cadena de integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados). Si un sistema no es controlable, entonces no es posible expresarlo en esta forma canónica.

Los coeficientes de la función transferencia pueden ser usados también para construir otro tipo de forma canónica

$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -d_{1}& 1& 0& 0\\ -d_{2}& 0& 1& 0\\ -d_{3}& 0& 0& 1\\ -d_{4}& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3}\\ n_{4} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

$\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0 \end{bmatrix}\textbf{x}(t)$ .

Esta disposición se denomina forma canónica observable y, análogamente al caso anterior, el modelo resultante es necesariamente observable (esto es, al proceder la salida de una cadena de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados). Un sistema no observable no puede ponerse en esta forma.

Funciones transferencia propia

Las funciones transferencia que son sólo propias (y no estrictamente propias) pueden también transformadas a las formas canónicas. El artificio utilizado es el de separar la función transferencia en dos partes, una estrictamente propia y una constante.

$\textbf{G}(s) = \textbf{G}_{ExPr}(s) + \textbf{G}(\infty)$

La función transferencia estrictamente propia puede ser ahora transformada a las representaciones de espacio de estados canónicas utilizando las técnicas mostradas anteriormente. La representación de espacio de estados de la constante es trivial.

$\textbf{y}(t) = \textbf{G}(\infty)\textbf{u}(t)$

Juntando ambos términos obtenemos las representaciones de espacio de estados con las matrices A, B y C determinadas por la parte estrictamente propia y la matriz D determinada por la constante.

Aquí un ejemplo para aclarar:

$\textbf{G}(s) = \frac{s^{2} + 3s + 3}{s^{2} + 2s + 1} = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 1} + 1$

lo que conduce a la siguiente representación controlable

$\dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix} -2& -1\\ 1& 0\\ \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

$\textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 2\end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\end{bmatrix}\textbf{u}(t)$

Nótese como la salida depende directamente de la entrada. Esto se debe a la constante $\textbf{G}(\infty)$ en la función transferencia.

Realimentación

Un método utilizado para realimentar es el de multiplicar la salida por una matriz K y colocar el resultado como la entrada del sistema: $\mathbf{u}(t) = K \mathbf{y}(t)$ . Como los valores de K no están restrigidos y pueden cambiarse de signo para la realimentación negativa. La presencia de un signo negativo (la notación común) es únicamente con fines de notación y su ausencia no afecta los resultados.

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)$

resulta en

$\dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B K \mathbf{y}(t)$

$\mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D K \mathbf{y}(t)$

resolviendo la ecuación de salida para $\mathbf{y}(t)$ y sustituyendo en la ecuación de estados resulta en

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \left(I - D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t)$

La ventaja de esto es que los valores propios de A pueden ser controlados eligiendo K apropiadamente mediante la descomposición en sus valores propios de $\left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right)$ . Esto asume que el sistema de lazo abierto es controlable o que los valores propios inestables de A pueden estabilizarse mediante la elección apropiada de K.

Ua simplificación común de este sistema es eliminar D y elegir C igual a la unidad, lo que reduce las ecuaciones a

$\dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \right) \mathbf{x}(t)$

$\mathbf{y}(t) = \mathbf{x}(t)$

Esto reduce la descomposición de los valores propios a sólo $A + B K$ .

UNIDAD 2

domingo, 1 de junio de 2014